​被除数÷除数=商一定是正确的吗？

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被除数÷除数=商一定是正确的吗？

小学三年级就有除法了，说道除法有一个常用公式，如下：

比如： 如果 12 ÷ 3 = 4，则 12 ÷ 4 = 3 与3 × 4 = 12是正确的。这个公式可以说在除法中无处不在，最常见的验算就会用到这个公式。

不知道有没有孩子对这个公式提出过不同意见？爱思考的孩子考虑的更多。

一般，在小学我们给这个公式定义在除数不为0的情况下是成立的，然而这个公式只要涉及到0，就会出现问题。于是笔者在这个基础上深入思考了一下。

我们首先看除法的定义：已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算，叫做除法. 一般我们都用式子：

被除数÷除数＝商

来表示，其中，除数是不能为0的。

所以，这个公式在正数范围内是成立（小学数学）。

我们知道：

被除数÷除数＝商；

被除数÷商＝除数；

商×除数＝被除数.

假如被除数为0，即

0 ÷ 除数＝0.

这个式子是没有错的，但是如果仔细分析，如果被除数为0，则会存在问题。我们举一个实际例子，以供分析。

0 ÷ 6 = 0，很显然这个式子是正确的，其中被除数是0，除数是6，商是0.

我们套用公式：被除数÷商＝除数，则 0 ÷ 0 = 6，显然是错误的。注意，我们不是特意把除数做为0，而是通过公式一步步推导得到的过程，从而证明这个公式是有漏洞的。如果从反证法的证明方法来考虑，这个公式就是错误的。

对于式子商×除数＝被除数，大家可能肯定是成立的，因为是乘法算式，所以不存在关于0的问题。我们知道乘法与除法互为逆运算，我们抛开除法，从乘法算式及其逆运算来考虑、

如果8 × 0 = 0 ，则 0 ÷ 0 = 8是不成立的。

所以商×除数＝被除数这个式子必须在一定的条件下才能使用。

笔者再三思量，觉得这一组公式中

被除数÷除数＝商；

被除数÷商＝除数；

商×除数＝被除数.

根据除法的定义，显然第一个肯定是正确的，即被除数÷除数＝商是正确的，然而其余两个公式是有使用范围的，并不是都能随便应用的。

笔者不能找到这三个常见除法公式的出处，都是在平时使用中总结到的，希望有知识渊博的朋友给指导一下，看看这三个式子的出处在哪里？原著具体是怎么描述这几个式子的？

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